Diện tích mặt cầu, khái niệm, công thức tính chi tiết

Diện tích mặt cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình học THCS và THPT. Đây là khối kiến thức xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra quan trọng. Chính vì vậy trong bài viết này baoduongmaycongnghiep.net sẽ chia sẻ các thông tin về các kiến thức liên quan đến mặt cầu cũng như cách tính diện tích, thể tích, diện tích mặt cầu ngoại tiếp tam giác và nhiều kiến thức liên quan khác.

Mặt cầu là gì? 

Trước khi đi sâu vào tìm hiểu các công thức tính toán trong toán học chúng ta cần hiểu được mặt cầu là gì? Thế nào được gọi là mặt cầu? Bởi chỉ có hiểu được mặt cầu là gì thì chúng ta mới có thể dễ dàng hiểu được các công thức tính toán phức tạp liên quan tới mặt cầu. 

diện tích mặt cầu bán kính r

Mặt cầu tâm O bán kính R

Mặt cầu là một tập hợp gồm nhiều các điểm M trong không gian Metric ba chiều cách đều một điểm O xác định bằng một khoảng R. Trong đó O chính là tâm của mặt cầu còn R là bán kính của mặt cầu. Do đó mặt cầu hay còn được gọi là mặt cầu bán kính R và có ký hiệu là S(O;R) hay {M/OM = R}.

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R

Diện tích mặt cầu có bán kính R bằng:

diện tích mặt cầu

Trong đó:

  • S là diện tích mặt cầu
  • π là hằng số (=3.14159265359)
  • R là bán kính của mặt cầu.

Đây là công thức tính diện tích mặt cầu cũng chính là công thức để áp dụng tính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình trụ…

Công thức tính thể tích hình cầu 

Để tính công thể tích hình cầu chúng ta áp dụng công thức dưới đây:

diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Trong đó:

  • V là ký hiệu của thể tích mặt cầu
  • r là bán kính của mặt cầu
  • d là đường kính của mặt cầu

Từ hai công thức trên chúng ta có thể thấy để tính được diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu chúng ta cần phải biết được bán kính r cũng như đường kính d.

Cách tính bán kính và tâm mặt cầu của một số hình cơ bản

Để tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp thì chúng ta cần phải biết được bán kính và tâm của nó. Dưới đây chúng tôi sẽ chia sẻ với các bạn cách tìm tâm và bán kính mặt cầu của một số hình cơ bản thường gặp trong các đề toán ở cấp THCS và THPT.

Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng

Một hình lăng trụ đứng A1A2A3A4.A’1A’2A’3A’có hai đáy nội tiếp đường tròn O và O’.

  • Tâm mặt cầu là I và I’ (đây đều là trung điểm của OO’)
  • Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lúc này sẽ là R = IA1 = IA2 = ….
  • Sau khi đã biết được bán kính và tâm chúng ta chỉ cần áp vào công thức S = 4.π.R2  là có thể tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng. 

diện tích mặt cầu có bán kính r bằng

Mặt cầu ngoại tiếp

Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hình chóp được chia ra làm hai loại đó là hình chóp đều và hình chóp có cạnh bên vuông góc với cạnh đáy. Dưới đây chúng tôi sẽ chia sẻ với các bạn chi tiết cách tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hai hình chóp này.

Hình chóp đều

Xác định tâm mặt cầu của hình chóp đều SABC chúng ta có:

– O là tâm của đáy của hình chóp SABC từ đó suy ra trục đáy của hình chóp là OS.

– Trên mặt phẳng (SAO), chúng ta tiến hành vẽ đường trung trực d của SA . Đường thẳng d này sẽ cắt SA tại giao điểm M và cắt SO tại giao điểm I.

=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là I.

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Để tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC chúng ta xét hai tam giác đồng dạng với nhau là SMI và SOA. Khi xét hai tam giác đồng dạng này ta có:

R = SI = SA2 : 2.SO = IB = IB = IC

Sau khi tìm được bán kính chúng ta tiến hành áp số liệu vào công thức tính diện tích mặt cầu ở trên là được.

diện tích mặt cầu bán kính r bằng

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp

Tìm r và tâm của hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Tìm tâm mặt cầu của hình chóp SABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và mặt đáy ABC với nội tiếp đường tròn tâm O.

Chúng ta thực hiện vẽ một đường tròn từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, sau đó kẻ thêm một đường thẳng d vuông góc với  mặt đáy (ABC) tại tâm O.

Tại mặt phẳng được tạo ra bởi đường thẳng d với SA, chúng ta tiến hành vẽ một đường trung trực d’ của SA. Đường trung trực d’ này sẽ giao với SA tại M đồng thời giao với d tại I.

Sau khi vẽ xong các đường trên chung ta bắt đầu tiến hành tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy. 

Để tính bán kính mặt cầu chúng ta tiến hành xét tam giác MAI vuông tại M.

Xét tam giác vuông MAI tại M ta có:

  •  R = AI = √(MI2 + MA2) = √[AO2 + (SA/2)2]

công thức tính diện tích mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Chúng ta xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập.

Trung điểm của đoạn thẳng AC’ cũng chính là tâm của mặt cầu 

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương sẽ bằng 1/2 độ dài của đường chéo của hình hộp chữ nhật / hình lập phương.

Sau khi tìm được các chỉ số, để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chúng ta tiến hành tương tự như cách tính với hình trụ và hình chóp.

Trên đây là toàn bộ các công thức tính liên quan đến diện tích mặt cầu chúng tôi muốn chia sẻ với các bạn. Hy vọng qua bài viết các bạn đã biết được cách tính diện tích mặt cầu nói chung và diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản trong toán học nói riêng. Chúc các bạn học tập tốt.

>>Tham khảo thêm<<<

  1. Phần mềm vẽ sơ đồ tư duy miễn phí giúp học nhanh nhớ lâu
  2. Cách làm tròn số trong Excel 2010 đơn giản dễ hiểu nhất

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.